Episodio 3: Arturo y la divisibilidad

Sandra Leal Huise.- 

La semana pasada, conversando con mi amigo, el profesor Arturo, me comentaba de su fascinación por los números y el impacto que le habí­a causado conocer los primos gemelos, los primos gemelos capicúas y los amigos (episodio 2 de Matematiquiando). Es por ello que en este tercer episodio presentaremos algunas nociones fundamentales asociadas a estos tipos de números.

Comencemos por definir y caracterizar números primos y números compuestos. Y para ello es necesario revisar la noción de divisibilidad, la cual nos permite saber cuándo un número divide a otro (o es divisor de otro). Veamos esto en un ejemplo: 2 divide a 24 (lo que equivale a decir que 2 es divisor de 24) porque al dividir 24 entre 2, el cociente (resultado de la operación) es 12; esto en simbologí­a matemática es: 24í·2=12. Es importante aclarar que esta división es exacta, es decir, no hay residuo. Así­ mismo y con otro ejemplo, podemos afirmar que 2 no es divisor de 25 porque al dividir 25 entre 2, el cociente es 12 pero el residuo es 1; esto es: 25 = 2í—12 + 1. Utilizando los mismos números, también podemos decir que 12 divide a 24 porque 24í·12 = 2 y que 12 no es divisor de 25.

La explicación anterior también admite la siguiente lectura: 24 es múltiplo de 2 (porque 24= 12í—2) y por eso 24 es un número par, al igual que 36, 52, 84, 148, 396 y 1458; todos ellos son números pares por ser múltiplos de 2. Por otra parte, 25 no es múltiplo de 2 (porque 25 = 2í—12 + 1) y por lo tanto, 25 no es un número par; entonces 25 es un número impar, así­ como lo son 45, 63, 87, 129, 261, 597 y 3453. Todos los números mencionados aquí­ como ejemplos de números pares o impares, son números compuestos porque admiten tres o más divisores. Por ejemplo, 148 = 2í—74, por lo tanto 74 es divisor de 148; pero también 148 = 4í—37, por lo tanto 4 y 37 son divisores de 148; además siempre es posible expresar un número como el producto de él mismo por la unidad, esto es 148 = 1í—148; en conclusión, son divisores del 148 los siguientes números: 1, 2, 4, 37, 74 y 148. Si tomamos como ejemplo un número impar, podemos hacer el mismo análisis. Así­, 597 = 3í—199, por lo tanto, los siguientes números son los divisores de 597: 1, 3, 199 y 597.

No todos los números admiten tantos divisores y es allí­ donde encontramos a los números primos, aquellos que sólo tienen como divisores a la unidad y al mismo número. Son números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97, … Es claro que 2 es el único número par que es primo; todos los demás números primos son impares, pero no todos los números impares son primos.

Teniendo como premisa todo lo anterior, definimos los números primos gemelos como dos números primos cuya diferencia es igual a 2. En la lista anterior de número primos, resulta fácil identificar como Primos Gemelos: 3 y 5, 17 y 19, 29 y 31, 71 y 73. ¿Cuáles son los otros pares de Números Primos Gemelos menores de 100?

Si definimos los números primos gemelos capicúas como dos números primos que son Capicúas (se leen igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha) cuya diferencia es igual a 10, entonces es fácil concluir que no existen parejas de Primos Gemelos Capicúas entre 200 y 299; tampoco entre 500 y 599. ¿Por qué?

Por otra parte, encontramos los números amigos: son un par de números en el cual cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro. Por ejemplo, 220 y 284 son amigos porque: (a) los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y probamos que  1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284; (b) los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, y verificamos que 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Pensemos en los números primos y sus posibles amigos, ¿cuáles son?

Los animo a responder las preguntas que planteo en cada caso, y a compartir sus respuestas y opiniones en la sección de “Comentarios”.

*Sandra Virginia Leal Huise es profesora de la Universidad Monteávila